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怎么求3X3矩阵的行列式

怎么求3X3矩阵的行列式

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矩阵的矩阵行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。列式求一个矩阵的矩阵行列式一开始可能会让人困惑,但只要做过几次后,列式你就会觉得并不是矩阵那么难。

方法1方法1 的列式 2:求行列式

  1. 怎么求3X3矩阵的行列式

    1写出3×3矩阵。

    我们从3x3矩阵A开始,矩阵试着找出它的列式行列式|A|。下面是矩阵我们将使用的一般矩阵表示法,以及示例矩阵:
  2. M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){ \displaystyle M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}}怎么求3X3矩阵的列式行列式

    2选择单行或单列。

    这将是矩阵引用行或列。不管你选哪一行或列,列式结果都是矩阵一样的。现在,列式只选择第一行。矩阵稍后,我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。
    • 我们选择示例矩阵A的第一行,圈出1 5 3。一般来说,圈出11a12a13
    • 怎么求3X3矩阵的行列式

      3划掉第一个元素的行和列。

      查看圈出的行或列,并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。
    • 在本例中,引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵:
    •  1  5 3
       2 

      4 1


       4 

      6 2

    • 怎么求3X3矩阵的行列式

      4求出2x2矩阵的行列式。

      记住,这个矩阵(abcd){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}}怎么求3X3矩阵的行列式

      5将结果乘以你选择的元素。

      记住,当你决定划去哪一行和哪一列时,是从引用行(或列)中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。
    • 在本例中,我们选择了a11,值为1。将它乘以-34(2x2矩阵的行列式),得到1*-34 =

      -34

    • 怎么求3X3矩阵的行列式

      6确定答案的正负号。

      接下来,将答案乘以1或-1来得到所选元素的

      代数余子式

      。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正,哪个元素是负:
    • + - +
      - + -
      + - +
    • 由于我们选择了a11,用a +标记,将结果乘以1。(也就是说,不用管它)。答案还是

      -34

    • 或者,你可以用公式(-1)来计算正负号,其中ij是该元素的行数和列数。
    • 怎么求3X3矩阵的行列式

      7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。

      返回到初始的3x3矩阵,包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程:
    • 划掉这个元素所在的行和列。

      在本例中,皇冠足球平台出租选择元素a12(值为5)。划掉第一行(1 5 3)和第二列(546){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}}怎么求3X3矩阵的行列式

      8对于三个元素重复这个操作。

      你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中,下面是计算a13余子式的简要描述:
      • 划掉第1行和第3列,得到(2446){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}}怎么求3X3矩阵的行列式

        9将三个结果加起来。

        这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式,每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来,你就得到了3x3矩阵的行列式。
        • 在本例中,行列式为

          -34

          +

          120

          +

          -12

          =

          74

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方法2方法2 的 2:简化问题

  1. 怎么求3X3矩阵的行列式

    1选择0最多的引用行或列。

    记住,你可以选择任意行或列作为引用。不管你选哪一个,结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列,只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下:
  2. 假设你选择第2行,包含元素a21、a2223。要解决这个问题,我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A21、A22和A23
  3. 3x3矩阵的行列式是a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|。
  4. 如果a22和a23都为0,公式就变成a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。
  5. 怎么求3X3矩阵的行列式

    2利用行加法使矩阵更简单。

    如果你把一行的值加到另一行,矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作,或者在加之前将值乘以一个常数,从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
  6. 例如,假设你有一个3×3的矩阵:(912310752){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}}怎么求3X3矩阵的行列式

    3学习三角矩阵的快捷方法。

    在这些特殊情况下,行列式就是主对角线上的元素的乘积,从左上角的a11到右下角的a33。我们讨论的仍然是3x3矩阵,但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式:
    • 上三角矩阵:所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。
    • 下三角矩阵:所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
    • 对角矩阵:所有非零元素都在主对角上。(上述矩阵的一个子集)
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注意事项

  • 如果有一行或列的所有元素都是0,那么这个矩阵的行列式就是0。
  • 这种方法可以扩展到任何大小的方阵。例如,如果将这种方法用于4x4矩阵,“划掉”后将得到一个3x3矩阵,你可以按照上面的描述计算行列式。但是提醒一句,手动计算非常繁琐!
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